Вернуться к содержанию учебника
Выполните действия:
а) \(\displaystyle\Bigl(\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}\Bigr)\;\Bigl(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\Bigr);\)
б) \(\displaystyle\Bigl(a+b-\frac{2ab}{a+b}\Bigr)\;:\;\Bigl(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}\Bigr);\)
в) \(\displaystyle(x^2-1)\Bigl(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+1\Bigr);\)
г) \(\displaystyle \Bigl(m+1-\frac{1}{1-m}\Bigr)\;:\;\Bigl(m-\frac{m^2}{m-1}\Bigr).\)
Вспомните:
а) \(\Bigl(\frac{1}{y} ^{\color{blue}{\backslash{x-y}}} +\frac{2}{x-y} ^{\color{blue}{\backslash{y}}} \Bigr)\;\Bigl(x ^{\color{blue}{\backslash{x+y}}} -\frac{x^2+y^2}{x+y}\Bigr)=\)
\(=\frac{x-y+2y}{y(x-y)}\cdot \frac{x(x+y)-(x^2+y^2)}{x+y}=\)
\(=\frac{x+y}{y(x-y)}\cdot \frac{\cancel{x^2}+xy-\cancel{x^2}-y^2}{x+y} \)
\(=\frac{x+y}{y(x-y)}\cdot \frac{xy-y^2}{x+y} =\)
\(= \frac{x+y}{y(x-y)}\cdot\frac{y(x-y)}{x+y}=1. \)
б) \(\Bigl(a+b-\frac{2ab}{a+b}\Bigr):\Bigl(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}\Bigr)=\)
\(=\Bigl(\frac{a+b}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} -\frac{2ab}{a+b}\Bigr):\Bigl(\frac{a-b}{a+b} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} +\frac{b}{a} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} \Bigr)=\)
\(=\frac{(a+b)^2-2ab}{a+b} : \frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)}=\)
\(=\frac{a^2+\cancel{2ab}+b^2-\cancel{2ab}}{a+b} : \frac{a^2-\cancel{ab}+\cancel{ab}+b^2}{a(a+b)}=\)
\(=\frac{a^2+b^2}{a+b} : \frac{a^2+b^2}{a(a+b)}=\)
\(=\frac{a^2+b^2}{a+b} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+b^2}=\)
\(=\frac{\cancel{(a^2+b^2)}\cdot a\cancel{(a+b)}}{\cancel{(a+b)}\cdot\cancel{(a^2+b^2)}}=a \)
в) \(\displaystyle(x^2-1)\Bigl(\frac{1}{x-1} ^{\color{blue}{\backslash{x+1}}} -\frac{1}{x+1} ^{\color{blue}{\backslash{x-1}}} +1 ^{\color{blue}{\backslash{x^2-1}}} \Bigr)=\)
\(=\displaystyle\frac{x^2-1}{1}\cdot\frac{(x+1)-(x-1)+(x^2-1)}{x^2-1}=\)
\(=\displaystyle\frac{\cancel{(x^2-1)}\cdot(\cancel{x}+1-\cancel{x}+\cancel{1}+x^2-\cancel{1})}{\cancel{x^2-1}}=\)
\(=1+x^2\).
г) \(\displaystyle \Bigl(m+1-\frac{1}{1-m}\Bigr)\;:\;\Bigl(m-\frac{m^2}{m-1}\Bigr)=\)
\(=\displaystyle \Bigl(\frac{m+1}{1} ^{\color{blue}{\backslash{m-1}}} +\frac{1}{m-1}\Bigr)\;:\;\Bigl(m ^{\color{blue}{\backslash{m-1}}} -\frac{m^2}{m-1}\Bigr)=\)
\(=\frac{(m+1)(m-1)+1}{m-1} : \frac{m(m-1)-m^2}{m-1}=\)
\(=\frac{m^2-\cancel{1}+\cancel{1}}{m-1} : \frac{\cancel{m^2}-m-\cancel{m^2}}{m-1}=\)
\(=\frac{m^2}{m-1} : \frac{-m}{m-1}=\)
\(=-\frac{m^2}{m-1} \cdot \frac{m-1}{m}=\)
\(=-\frac{m^{\cancel{2}}\cdot\cancel{(m-1)}}{\cancel{(m-1)}\cdot \cancel{m}} =-m\)
Пояснения:
Основные используемые правила:
1) Порядок действий:
если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками.
2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители, затем выполняем сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:
\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)
4) Вынос общего множителя:
\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)
5) Разность квадратов:
\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)
6) Квадрат суммы двух выражений:
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
7) Противоположные выражения:
\(a-b = -(b-a)\).
8) Свойство степени:
\(a^nb^n = (ab)^n\).
Вернуться к содержанию учебника