Упражнение 205 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 55

а) Выполним деление многочленов:

-	\(m^2\)	-	\(6m\)	+	\(10\)		\(m\)	-	\(3\)
	\(m^2\)	-	\(3m\)				\(m\)	-	\(3\)
	-	-	\(3m\)	+	\(10\)
		-	\(3m\)	+	\(9\)
					\(1\)

\(m^2 - 6m + 10=(m-3)(m-3)+1\)

\[\frac{m^2 - 6m + 10}{m - 3} = m - 3 + \frac{1}{m - 3}.\]

Чтобы дробь целая, требуется \(m - 3\) делит 1, то есть

\(\displaystyle m - 3 = 1 \implies m = 4:\)
\(4 - 3 + \tfrac{1}{1} = 2.\)

\(\displaystyle m - 3 = -1 \implies m = 2:\)

\(2 - 3 + \tfrac{1}{-1} = -2.\)

Ответ: \(\pm2\)

б) \(\frac{(m - 4)^2}{m - 2} = \frac{m^2 - 8m + 16}{m - 2}\)

Выполним деление многочленов:

-	\(m^2\)	-	\(8m\)	+	\(16\)		\(m\)	-	\(2\)
	\(m^2\)	-	\(2m\)				\(m\)	-	\(6\)
	-	-	\(6m\)	+	\(16\)
		-	\(6m\)	+	\(12\)
					\(4\)

\((m - 4)^2=(m-2)(m-6)+4\)

\(\frac{(m - 4)^2}{m - 2}= m - 6 + \frac{4}{m - 2}\)

Требуется, чтобы \(m - 2\) делил 4. Возможные значения:

\((m - 2): \pm1,\pm2,\pm4\)

Если \(m - 2=1\), то \(m=3\):

\(3 - 6 + \frac{4}{1} = 1;\)

Если \(m - 2=-1\), то \(m=1\):

\(1 - 6 + \frac{4}{-1} = -9;\)

Если \(m - 2=2\), то \(m=4\):

\(4 - 6 + \frac{4}{2} = 0;\)

Если \(m - 2=-2\), то \(m=0\):

\(0 - 6 + \frac{4}{-2} = -8;\)

Если \(m - 2=4\), то \(m=6\):

\(6 - 6 + \frac{4}{4} = 1;\)

Если \(m - 2=-4\), то \(m=-2\):

\(-2 - 6 + \frac{4}{-4} = -9.\)

Ответ: \(1; -9; 0; -8\)

---

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Выполняем деление многочлена на многочлен  для представления рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2. Дробь \(\frac{p}{q}\) при целых \(p,q\) целая тогда и только тогда, когда \(q\) делит \(p\).

Пояснения к шагам:

— С помощью деления многочленов выделили целую часть и остаток.

— Для целочисленности остаточной дроби приравняли знаменатель к делителям остатка.

— Перечислили все возможные целочисленные значения \(m\) и вычислили итоговые значения дробей.