Вернуться к содержанию учебника
При каких целых \(n\) значение дроби является целым числом:
а) \(\displaystyle\frac{5n^2 + 2n + 3}{n};\)
б) \(\displaystyle\frac{(n-3)^2}{n};\)
в) \(\displaystyle\frac{3n}{n+2};\)
г) \(\displaystyle\frac{7n}{n-4}?\)
Введите текст
а) \[ \frac{5n^2 + 2n + 3}{n} = 5n + 2 + \frac{3}{n}. \] Для целого значения нужно \(\tfrac{3}{n}\in\mathbb{Z}\), то есть \(n\) — делитель числа 3. Ответ: \(n=\pm1,\pm3\) (и \(n\neq0\)).
б) \[ \frac{(n-3)^2}{n} = n - 6 + \frac{9}{n}. \] Целым является, когда \(\tfrac{9}{n}\in\mathbb{Z}\), то есть \(n\) — делитель 9. Ответ: \(n=\pm1,\pm3,\pm9\) (и \(n\neq0\)).
в) \[ \frac{3n}{n+2} = 3 - \frac{6}{n+2}. \] Необходимо \(\tfrac{6}{n+2}\in\mathbb{Z}\), то есть \(n+2\) — делитель 6. Перечислим делители \(d\in\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\}\) и решим \(n+2=d\): \[ n\in\{-1,0,1,4,-3,-4,-5,-8\},\quad n\neq -2. \]
г) \[ \frac{7n}{n-4} = 7 + \frac{28}{n-4}. \] Нужно \(\tfrac{28}{n-4}\in\mathbb{Z}\), значит \(n-4\) — делитель 28. Для \(d\in\{\pm1,\,\pm2,\,\pm4,\,\pm7,\,\pm14,\,\pm28\}\) имеем \(n=4+d\): \[ n\in\{5,6,8,11,18,32\}\cup\{3,2,0,-3,-10,-24\},\quad n\neq4. \]
Пояснения:
Основная идея: каждую дробь представляем как сумму целого выражения и остаточного дробного члена. Например, \(\tfrac{P(n)}{Q(n)}=K(n)+\tfrac{R}{Q(n)}\). Для целого результата требуется, чтобы дробная часть \(\tfrac{R}{Q(n)}\) была целой, то есть знаменатель делил остаток.
Для пунктов а) и б) разделили многочлены и получили условия \(n\mid3\) и \(n\mid9\). Для пунктов в) и г) выполнили замену \(n+2\) и \(n-4\), записали дробь как \(k-\tfrac{\text{число}}{n+2}\) или \(k+\tfrac{\text{число}}{n-4}\), и потребовали, чтобы делитель делил числитель, перебрав все делители.
Вернуться к содержанию учебника