Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \(ab + \dfrac{ab}{a+b}\Bigl(\dfrac{a+b}{a-b} - a - b\);\)
б) \(\displaystyle\Bigl(\dfrac{y^2 - xy}{x^2 + xy} - xy + y^2\Bigr)\cdot\dfrac{x}{x-y} + \dfrac{y}{x+y};\)
в) \(\displaystyle\Bigl(\dfrac1{(2a-b)^2} + \dfrac2{4a^2 - b^2} + \dfrac1{(2a+b)^2}\Bigr)\;\cdot\;\dfrac{4a^2 + 4ab + b^2}{16a};\)
г) \(\displaystyle\dfrac{4c^2}{(c-2)^4} : \Bigl(\dfrac1{(c+2)^2} + \dfrac1{(c-2)^2} + \dfrac2{c^2-4}\Bigr).\)
Введите текст
а) \[ ab + \frac{ab}{a+b}\Bigl(\frac{a+b}{a-b} - (a+b)\Bigr) = ab + \frac{ab}{a+b}\cdot\frac{a+b}{a-b} - \frac{ab\,(a+b)}{a+b} = ab + \frac{ab}{a-b} - ab = ab\Bigl(\frac1{a-b}-1\Bigr). \]
б) \[ \frac{y^2 - xy}{x^2+xy} - xy + y^2 = \frac{y(y-x)}{x(x+y)} + y(y-x) = y(y-x)\Bigl(\frac1{x(x+y)} + 1\Bigr) = \frac{y(y-x)(x^2+xy+1)}{x(x+y)}, \] \[ \Bigl(\dots\Bigr)\cdot\frac{x}{x-y} = \frac{y(y-x)(x^2+xy+1)}{x(x+y)}\cdot\frac{x}{x-y} = -\frac{y(x^2+xy+1)}{x+y}, \] \[ -\frac{y(x^2+xy+1)}{x+y} + \frac{y}{x+y} = \frac{-y(x^2+xy+1) + y}{x+y} = -\frac{y(x^2+xy)}{x+y} = -xy. \]
в) \[ \frac1{(2a-b)^2} + \frac2{4a^2-b^2} + \frac1{(2a+b)^2} = \frac{(2a+b)^2 + 2(2a-b)(2a+b) + (2a-b)^2}{(2a-b)^2(2a+b)^2} = \frac{16a^2}{(2a-b)^2(2a+b)^2}, \] \[ \cdot\frac{4a^2+4ab+b^2}{16a} = \frac{16a^2}{(2a-b)^2(2a+b)^2}\cdot\frac{(2a+b)^2}{16a} = \frac{a}{(2a-b)^2}. \]
г) \[ \frac1{(c+2)^2} + \frac1{(c-2)^2} + \frac2{c^2-4} = \frac{(c-2)^2 + (c+2)^2 + 2(c-2)(c+2)}{(c-2)^2(c+2)^2} = \frac{4c^2}{(c-2)^2(c+2)^2}, \] \[ \frac{4c^2}{(c-2)^4} : \frac{4c^2}{(c-2)^2(c+2)^2} = \frac{4c^2}{(c-2)^4}\cdot\frac{(c-2)^2(c+2)^2}{4c^2} = \frac{(c+2)^2}{(c-2)^2}. \]
Пояснения:
Использованные приёмы и правила:
— Приведение дробей к общему знаменателю и вычитание/сложение дробей.
— Вынесение общего множителя и группировка слагаемых.
— Свойство разности и суммы дробей: \(\tfrac B{D} - C = \tfrac{B - C\,D}{D}\), \(\tfrac A{D} + C = \tfrac{A + C\,D}{D}.\)
— Факторизация: \(4a^2 - b^2 = (2a-b)(2a+b)\), \(c^2-4=(c-2)(c+2)\).
— Деление на дробь равно умножению на её обратную.
— Сокращение одинаковых множителей в произведении дробей.
Комментарий к пункту а): сгруппировали \(\tfrac{a+b}{a-b}- (a+b)\) как одну дробь, сократили общий множитель.
Комментарий к пункту б): выделили общий множитель \(y(y-x)\), затем при умножении на \(\tfrac{x}{x-y}\) использовали \(y-x=-(x-y)\) и продолжающее сокращение.
Комментарий к пункту в): привели три дроби к общему знаменателю, упростили числитель до \(16a^2\), после чего сократили с \(16a\) и заметили полный квадрат.
Комментарий к пункту г): аналогично привели сумму трёх дробей к общему знаменателю, получили в числителе \(4c^2\), затем разделили и сократили.
Вернуться к содержанию учебника